задачка любителям подумать - нужна только голова

сколько не давал эту задачу знакомым, так ни кто толком решения и не дал. здесь двухменый случай, мне пришлось решить трёхмерный случай, но суть решения одинакова. в кратце какую задачу решал я. вобщем в одном гос учреждении, как и везде в гос учреждениях после проведённых мероприятий делался отчёт с цифрами и моя задача состояла в том, чтобы цыфры в отчёте слегка поправлять чтобы они "бились" с общими цифрами которые нужно было показать и которые были извесны до проведения мероприятия. вобщем суть примерно следующая, есть K регионов, каждый регион предоставляет отчёт который содержит N строк M столбцов. вобщем нам на вход приходила трехмернная мартица KxNxM и несколько чисел, одно из которых по сути была суммой всех цисел в этой матрице. естественно реальная сумма чисел в матрице расходилась с тем что давали нам. вот и задача состояла в том, чтобы перересчитать матрицу так, чтобы в ней отклонения от реальных значений были минимальны, но сумма в конечном счёте совпадала с нужным значением. да, нужно добавить самое главное, что всё числа были ЦЕЛЫЕ! собственно в этом то и загвозка вся. вобщем эта задача проста и не требует особых мозгов - находим разницу от заявленного значения к которому нужно матрицу привести и реальными цифрами матрицы и после перемножаем всю матрицу на коефициент, персчитываем матрицу в дробных числах, округляем ёё всю, снова находим разницу между заявленным значением и получившимся, и на этот раз разница не может составлять больше определённого значния целых которое нам нужно добавить/отнять возвращаемся к неогруглённой матрице и выбираем нужное кодличество максимально приближенных до округления чисел, которые нужно округлить в соответствующую сторону, чтобы всё сошлось, короче тут всё просто... да, так вот в инстанцию выше отправлялась не 3Д таблица, а две 2Д - KxN и KxM - где каждый элемент был соостветственно суммуой столбца в 3Д таблице - короче итоги. всё бы ни чего, но в один прекрасный момент, сверху запросили сами значения, а не только итоги, и тут то и возникла обратная задача - по итогам востановить саму таблицу, причём такую которая бы была предельно приближна к реальным значениям.

мутно объяснил, но в 2Д случае будет понятнее. короче вот что есть и что нужно...

дано:
матрица A (n x m), вектор B (n) и вектор С(m). известно что сумма всех элементов вектора B равна сумме всех элементов вектора С, но в общем случае не равна сумме всех элементов матрицы A.
задача построить матрицу A1, такую, что сумма всех элементов матрицы была равна сумме всех элементов вектора B и вектора C, сумма всех элементов i'ой строки матрицы А равна i'тому элементу вектора B, а j'ый столбец матрицы A равен j'тому элементу вектора С, и к тому же чтобы сумма квадратов разниц всех элементов с соответствующими элементами матрицы А1 был минимален.
если по русски, то
AAAAAAAA B - сумма всех А в строке равно элементу В
AAAAAAAA B
AAAAAAAA B
CCCCCCCC
^
сумма столбца А равна элемненту С

должна получиться матрица А1 где сумма строки равна соответствующему элеменуту В, а сумма столбца соответствующему элементу С и чтобы поверхность заданная А претерпела минимальные изменения.

вот вобщем и всё. да и самое главное - всё числа ЦЕЛЫЕ.

мне эту задачу пришлось решать в реальных условиях, я сразу сказал как понял условие - что задача не решаема, но оказывается вполне решаема и даже очень, особенно когда говорят что всем нам прийдет полный ... плохо вобщем будет всем нам за подделку данных, если мы не подадим цифры с которых мы делали отчёты... :)...