#include <stdio.h>
#include <iostream.h>
#include <math.h>
#define EPS 1e-4
float a, b, c;
float x1v, x2v; // мин и максимум трёхчлена (локальные)
float D; //дискриминант у производной
float x1, x2, x3; // корни
bool abs(float); // модуль
short int sgn(float); // знак
float F( float ); // функция - трёхчлен
float Fpr( float ); // производная
float dih(float, float, float); // метод половинного деления на интервале
bool otr1( void ); // считает минимум и максимум функции F
short int sgn( float val )
{
(val > 0) ? (1) : ((val == 0) ? (0) : (-1));
}
bool otr1( void )
{
D = a*a - 3*b;
if( D < 0 )
{
return false;
}
else if( D == 0 )
{
x1v = x2v = -1*a/3;
}
else
{
x1v = (-1*a + sqrt(D)) / 3;
x2v = (-1*a - sqrt(D)) / 3;
}
return true;
}
bool abs(float val)
{
(val > 0) ? (val) : (-1*val);
}
float F( float x )
{
return x*x*x + a*x*x + b*x + c;
}
float Fpr( float x )
{
return 3*x*x + 2*a*x + b;
}
float dih(float xn, float xk, float eps)
{
if( F(xn)*F(xk) > 0 )
{
cout<<"Err";
return 0;
}
float xi, fl;
if( F(xn) == 0 )
return xn;
if( F(xk) == 0 )
return xk;
while( (F(xi) != 0) && (abs(xk-xn) > eps) )
{
xi = xn + (xk - xn)/2;
if( F(xn)*F(xi) < 0 )
xk = xi;
if( F(xi)*F(xk) < 0 )
xn = xi;
}
return xi;
}
int main( void )
{
cin>>a;
cin>>b;
cin>>c;
float x;
if( otr1() == false)
{
// это означает что наша функция возрастает на области определения и имеет один корень
// передаём в функцию dih в качестве границ очень большое и очень маленькое число
// неоптимально, можно продолжить исследование и сузить поиск
// но будет работать))
x1 = dih((-1)*(unsigned)(-1.0), (unsigned)(-1.0), EPS );
cout<<"корень 1: "<<x1;
return 0;
}
// посчитаем значение функции на точке, большей точки максимума (локального) == знаку на +бесконечности
bool znakbeskpl; // true - плюс, false - минус
if( sgn(F(x1v+1)) == 1 )
znakbeskpl = true;
else
znakbeskpl = false;
/* bool znakbeskmin;
if( sgn(F(x2v-1)) == 1 )
znakbeskmin = true;
else
znakbeskmin = false;*/
// дальше найдём значения функций в точках экстремума
short int znakx1v, znakx2v;
znakx1v = sgn(F(x1v));
znakx2v = sgn(F(x2v));
if( znakx1v == 0 )
{
// один корень есть, равен максимуму, второй будет лежать правее
// если знак на +беск > 0 и левее если знак -беск < 0
x1 = x1v;
cout<<"корень 1: "<<x1;
if( znakbeskpl == true )
x2 = dih(x2v, (unsigned)(-1.0), EPS);
else
x2 = dih((-1)*(unsigned)(-1.0), x2v, EPS);
cout<<endl<<"корень 2: "<<x2;
}
else if( znakx2v == 0 )
{
// аналогично если корень совпал с локальным минимумом
x1 = x2v;
cout<<"корень 1: "<<x1;
if( znakbeskpl == true )
x2 = dih((unsigned)(-1.0), x1v, EPS);
else
x2 = dih(x1v, (-1)*(unsigned)(-1.0), EPS);
cout<<endl<<"корень 2: "<<x2;
}
else if( ((znakx1v == 1) && (znakx2v == -1)) || ((znakx2v == 1) && (znakx1v == -1)) )
{
// локальные максимумы и минимумы имеют разные знаки... очевидно что корни есть между ними и снаружи
x1 = dih(x1v, x2v, EPS);
if( znakbeskpl == true )
{
x2 = dih(x2v, (unsigned)(-1.0), EPS);
x3 = dih((-1)*(unsigned)(-1.0), x1v, EPS);
}
else
{
x2 = dih(x1v, (unsigned)(-1.0), EPS);
x3 = dih((-1)*(unsigned)(-1.0), x2v, EPS);
}
cout<<"корень 2: "<<x2;
cout<<endl<<"корень 3: "<<x3;
}
else
{
// то есть локальные максимум и минимум имеют одинаковый знак
// тогда корень один, по идее этот вариант аналогичен
// тому, что D < 0
}
return 0;
}
Нужна помощь в нахождении точности
Здравствуйте, помогите пожалуйста доделать программу в Builder C++ в консольном приложении, сколько я не мучался у меня ничего не получается [Помогите]
Найти корни уравнения: a * x3 + b∙x2 + c∙x + d = 0 с точностью до 0.01
Вместо компонентов a, b, c и d записать заданные значения полинома, где а=1, b=2, с= -6, d= -3, Корни найти методом половинного деления.
:confused: :confused: :confused:
Найти корни уравнения: a * x3 + b∙x2 + c∙x + d = 0 с точностью до 0.01
Вместо компонентов a, b, c и d записать заданные значения полинома, где а=1, b=2, с= -6, d= -3, Корни найти методом половинного деления.
:confused: :confused: :confused:
А эта программа должна находить корни любого кубического уравнения? Или только для конкретных значений а=1, b=2, с=-6, d=-3?
ну во первых сначала делим всё на a и оставляем уравнения вида x^3 + ax^2 + bx + c (a b c ессно другие уже), корни от этого не меняются
на самом деле для кубического уравнения можно найти корни и без метода половинного деления, как - написано здесь
но если уж так понадобился метод половинного деления, то сначала надо найти какие-то отрезки, на которых многочлен обращается в ноль... для этого можно пройтись с каким-то большим eps и посмотреть какого знака произведение f(x-eps)*f(x+eps) в какой-то точке х.. (или как-то по другому найти отрезки... единственно что на отрезке должен быть один корень)
а потом пока (F(xi) <> 0) и |xk-xn| > eps повторять:
xi := xn+(xk-xn)/2;
если (F(xn)*F(xi) < 0), то xk := xi;
если (F(xi)*F(xk) < 0), то xn := xi.
где xk и xn концы отрезка
собственно вся основная проблема состоит в нахождении границ отрезка
для этого помогут теоремы, изучаемые в институте на первом курсе, а именно
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], причём значения её в концах отрезка f(a) и (f)b - это числа разных знаков, то на отрезке [a;b] лежит по крайней мере один корень уравнения.
Если функция f(x) строго монотонна на отрезке [a;b], то есть возрастает или убывает на [a;b], то на этом отрезке уравнение f(x) = 0 не может иметь более одного корня.
собсна монотонность исследуется по производной (которую найти для кубического трёхчлена очень легко), а дальше просто находишь отрезок, на границе которого функция имеет другой знак, а дальше уже метод половинного деления
на самом деле для кубического уравнения можно найти корни и без метода половинного деления, как - написано здесь
но если уж так понадобился метод половинного деления, то сначала надо найти какие-то отрезки, на которых многочлен обращается в ноль... для этого можно пройтись с каким-то большим eps и посмотреть какого знака произведение f(x-eps)*f(x+eps) в какой-то точке х.. (или как-то по другому найти отрезки... единственно что на отрезке должен быть один корень)
а потом пока (F(xi) <> 0) и |xk-xn| > eps повторять:
xi := xn+(xk-xn)/2;
если (F(xn)*F(xi) < 0), то xk := xi;
если (F(xi)*F(xk) < 0), то xn := xi.
где xk и xn концы отрезка
собственно вся основная проблема состоит в нахождении границ отрезка
для этого помогут теоремы, изучаемые в институте на первом курсе, а именно
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], причём значения её в концах отрезка f(a) и (f)b - это числа разных знаков, то на отрезке [a;b] лежит по крайней мере один корень уравнения.
Если функция f(x) строго монотонна на отрезке [a;b], то есть возрастает или убывает на [a;b], то на этом отрезке уравнение f(x) = 0 не может иметь более одного корня.
собсна монотонность исследуется по производной (которую найти для кубического трёхчлена очень легко), а дальше просто находишь отрезок, на границе которого функция имеет другой знак, а дальше уже метод половинного деления
вот прога... но поскольку с математикой в средней школе у меня было не очень, то если я неправ, поправьте последний else в mainе
если не работает, то меня не убивайте) ибо писал чам)
в гугле вроде есть готовая функция) но она на паскале, портируешь сам если надо будет
Код:
если не работает, то меня не убивайте) ибо писал чам)
в гугле вроде есть готовая функция) но она на паскале, портируешь сам если надо будет
Цитата: Mr.Hacker
ну во первых сначала делим всё на a и оставляем уравнения вида x^3 + ax^2 + bx + c (a b c ессно другие уже), корни от этого не меняются
а если a=0
это конечно вырожденный не представляющий интереса случай но нужно про него помнить
вот могу предложить процедуру(правда только на паскале - но это неважно) которая находит корень на [a,b] с точностью eps
принимает функцию как параметр
Код:
type FT=function(x:real):real;
procedure root(z:FT; a,b,eps:real; var x:real);
var c:real;
begin
repeat
c:=(a+b)/2;
if z(a)*z(c)<0 then b:=c else
if z(c)*z(b)<0 then a:=c
until (b-a)<eps;
x:=(a+b)/2
end;
procedure root(z:FT; a,b,eps:real; var x:real);
var c:real;
begin
repeat
c:=(a+b)/2;
if z(a)*z(c)<0 then b:=c else
if z(c)*z(b)<0 then a:=c
until (b-a)<eps;
x:=(a+b)/2
end;
ну а нахождение a b уже предложили вариант
работая только с такими многочленами вообще не возникает проблем найти производную в общем виде
исследуйте ее - находите число корней и нужные a b
/*add*/ меня опередили с полной программой на нужном языке :)
кстати блин неправильно я малёк написал) D у производной определяет форму, так что в последнем else не то же самое, там надо дописать, если на +беск плюс, то если мин/макс >0 то корень слева от макс, если <0 то справа от мин, и наоборот на +беск минус))) впадлу редактировать
Цитата:
собственно вся основная проблема состоит в нахождении границ отрезка
Вот здесь кое-что написано о границах корней многочлена: http://www.pm298.ru/mnog5.shtml
Т.е. для многочлена ax3 + bx2 + cx + d получится формула
Код:
|x| <= 1 + max{|b|,|c|,|d|}/|a|
Цитата: Sara
А эта программа должна находить корни любого кубического уравнения? Или только для конкретных значений а=1, b=2, с=-6, d=-3?
Только для конкретных значений))) а=1, b=2, с=-6, d=-3
Цитата: Sara
А эта программа должна находить корни любого кубического уравнения? Или только для конкретных значений а=1, b=2, с=-6, d=-3?
Здравствуйте))
Ну желательно чтобы программа находила значения только для конкретных значений а=1, b=2, с=-6, d=-3
Ну наверно сложно будет сделать программу для произвольных значений заданных пользователем))
Цитата: Nik.rus
Ну наверно сложно будет сделать программу для произвольных значений заданных пользователем))
да нет - особой сложности нет
дифференцирование многочлена линейная операция
ну а для конкретных a b c d задача сводиться к очень простой
не нужно искать отрезки с уединенными корнями - их можно посчитать вручную
[quote=Nik.rus]Здравствуйте, помогите пожалуйста доделать программу в Builder C++ в консольном приложении, сколько я не мучался у меня ничего не получается [Помогите]
Найти корни уравнения: a * x3 + b∙x2 + c∙x + d = 0 с точностью до 0.01
Вместо компонентов a, b, c и d записать заданные значения полинома, где а=1, b=2, с= -6, d= -3, Корни найти методом половинного деления.[/quote]
вообще еще в задачах подобного рода пишется на каком отрезке надо искать корни. я взял, к примеру, отрезок [-10;10]. решение будет следующее:
вообщем находим отрезки локализации и для каждого отрезка находим корень. вроде все достаточно точно работает. взял конкретно для твоего случая.
[quote=nilbog]да нет - особой сложности нет[/quote]
согласен. например приведенный мной код вполне можно переделать для произвольных значений a, b, c, d.
Найти корни уравнения: a * x3 + b∙x2 + c∙x + d = 0 с точностью до 0.01
Вместо компонентов a, b, c и d записать заданные значения полинома, где а=1, b=2, с= -6, d= -3, Корни найти методом половинного деления.[/quote]
вообще еще в задачах подобного рода пишется на каком отрезке надо искать корни. я взял, к примеру, отрезок [-10;10]. решение будет следующее:
Код:
#include <iostream.h>
#include <stdlib.h>
#pragma hdrstop
#pragma argsused
double poldel(double x1, double x2, double eps)
{
double a,b,c,f1,f2;
a=x1;
b=x2;
do{
c=(a+b)/2;
f1=a*a*a+2*a*a-6*a-3;
f2=b*b*b+2*b*b-6*b-3;
if (f1*f2<=0){
b=c;
}else{
a=c;
}
}while((b-a)>=2*eps);
return (a+b)/2;
}
#define a -10
#define b 10
#define h 0.00001
#define eps 0.01
int main(int argc, char* argv[])
{
double y2,y1,x1,x2;
x1=a;
x2=a+h;
while(x2<b){
y1=x1*x1*x1+2*x1*x1-6*x1-3;
y2=x2*x2*x2+2*x2*x2-6*x2-3;
if (y1*y2<=0){
cout<<x1<<" "<<x2<<endl;
cout<<"poldel= "<<poldel(x1,x2,eps)<<endl;
};
x1=x2;
x2+=h;
}
system("pause");
return 0;
}
#include <stdlib.h>
#pragma hdrstop
#pragma argsused
double poldel(double x1, double x2, double eps)
{
double a,b,c,f1,f2;
a=x1;
b=x2;
do{
c=(a+b)/2;
f1=a*a*a+2*a*a-6*a-3;
f2=b*b*b+2*b*b-6*b-3;
if (f1*f2<=0){
b=c;
}else{
a=c;
}
}while((b-a)>=2*eps);
return (a+b)/2;
}
#define a -10
#define b 10
#define h 0.00001
#define eps 0.01
int main(int argc, char* argv[])
{
double y2,y1,x1,x2;
x1=a;
x2=a+h;
while(x2<b){
y1=x1*x1*x1+2*x1*x1-6*x1-3;
y2=x2*x2*x2+2*x2*x2-6*x2-3;
if (y1*y2<=0){
cout<<x1<<" "<<x2<<endl;
cout<<"poldel= "<<poldel(x1,x2,eps)<<endl;
};
x1=x2;
x2+=h;
}
system("pause");
return 0;
}
вообщем находим отрезки локализации и для каждого отрезка находим корень. вроде все достаточно точно работает. взял конкретно для твоего случая.
[quote=nilbog]да нет - особой сложности нет[/quote]
согласен. например приведенный мной код вполне можно переделать для произвольных значений a, b, c, d.
Цитата: Nik.rus
Здравствуйте))
Ну желательно чтобы программа находила значения только для конкретных значений а=1, b=2, с=-6, d=-3
Ну наверно сложно будет сделать программу для произвольных значений заданных пользователем))
Ну желательно чтобы программа находила значения только для конкретных значений а=1, b=2, с=-6, d=-3
Ну наверно сложно будет сделать программу для произвольных значений заданных пользователем))
Да почему сложно? Для студента математического факультета эта задача, так сказать, средней сложности. Главное - не забыть про кратные корни (имейте в виду, что если корень имеет кратность 2, то значения функции справа и слева от этого корня будут иметь одинаковый знак).
А для конкретных значений а=1, b=2, с=-6, d=-3 задача решается и вовсе просто.
В данном случае действительный корень только один, и находится он на отрезке [1,2].
Вот код, который я написала в C++ Builder (проверено, работает).
Код:
int sign( double x )
{
if(x >= 0) return 1;
else return -1;
}
//-------------------------------------------------------
double f( double x )
{
return x*x*x* + x*x*2 - x*6 - 3;
}
//-------------------------------------------------------
bool find_root( double x1, double x2, double eps, double* x )
{
double v1, v2, v12, x12;
while( fabs(x1-x2) > eps )
{
v1 = f(x1);
v2 = f(x2);
if( sign(v1) == sign(v2) ) return false;
else
{
x12 = (x1+x2)/2;
v12 = f(x12);
if( sign(v12) == sign(v1) ) x1 = x12;
else x2 = x12;
}
}
*x = x12;
return true;
}
//-------------------------------------------------------
void __fastcall TForm1::Button1Click(TObject *Sender)
{
double x1 = Edit1->Text.ToDouble();
double x2 = Edit2->Text.ToDouble();
double eps = Edit3->Text.ToDouble();
double x = 0;
if( find_root(x1, x2, eps, &x) == true )
{
Edit4->Text = FloatToStr(x);
Edit5->Text = FloatToStr(f(x));
}
else
{
Edit4->Text = "Error";
}
}
{
if(x >= 0) return 1;
else return -1;
}
//-------------------------------------------------------
double f( double x )
{
return x*x*x* + x*x*2 - x*6 - 3;
}
//-------------------------------------------------------
bool find_root( double x1, double x2, double eps, double* x )
{
double v1, v2, v12, x12;
while( fabs(x1-x2) > eps )
{
v1 = f(x1);
v2 = f(x2);
if( sign(v1) == sign(v2) ) return false;
else
{
x12 = (x1+x2)/2;
v12 = f(x12);
if( sign(v12) == sign(v1) ) x1 = x12;
else x2 = x12;
}
}
*x = x12;
return true;
}
//-------------------------------------------------------
void __fastcall TForm1::Button1Click(TObject *Sender)
{
double x1 = Edit1->Text.ToDouble();
double x2 = Edit2->Text.ToDouble();
double eps = Edit3->Text.ToDouble();
double x = 0;
if( find_root(x1, x2, eps, &x) == true )
{
Edit4->Text = FloatToStr(x);
Edit5->Text = FloatToStr(f(x));
}
else
{
Edit4->Text = "Error";
}
}
вздумалось попробвать данный код(ничего не менял) и получил ответ x=1,41... сразу видно, что выражение x^3+2*x^2-6*x-3 при таком x никак не будет равно 0 даже приблизительно.
и еще мне вот интересно, а почему ищем только один корень? ну допустим действительный только один(остальные комплексные вроде - не проверял), но мы же можем получить приближенный действительный корень(корни)(естественно корень будет на малом отрезке, на котором функция меняет знак), при котором функция будет приблизительно равна 0(т.е. будет приблизительно выполнять равенство F(x)=0), что учитывая, что метод половинного деления относится к приближенным вполне нас устраивает.
и еще мне вот интересно, а почему ищем только один корень? ну допустим действительный только один(остальные комплексные вроде - не проверял), но мы же можем получить приближенный действительный корень(корни)(естественно корень будет на малом отрезке, на котором функция меняет знак), при котором функция будет приблизительно равна 0(т.е. будет приблизительно выполнять равенство F(x)=0), что учитывая, что метод половинного деления относится к приближенным вполне нас устраивает.
а я вам на первой странице что написал? для любых чисел всё находит, только подправить немного и учесть границы корней)
[quote=Mr.Hacker]а я вам на первой странице что написал? для любых чисел всё находит, только подправить немного и учесть границы корней)[/quote]
так я у Sara интересуюсь почему она находит только действительный корень(мой-то код все обрабатывает).
так я у Sara интересуюсь почему она находит только действительный корень(мой-то код все обрабатывает).
вообще говоря этот метод должен находить уединенный действительный корень на отрезке
[quote=nilbog]вообще говоря этот метод должен находить уединенный действительный корень на отрезке[/quote]
ну да. так называемый отрезок локализации о нем уже писалось.
ну да. так называемый отрезок локализации о нем уже писалось.
Цитата: kosfiz
вздумалось попробвать данный код(ничего не менял) и получил ответ x=1,41... сразу видно, что выражение x^3+2*x^2-6*x-3 при таком x никак не будет равно 0 даже приблизительно.
Прежде чем такое писать, хоть бы на калькуляторе проверили, что ли :(
Я же не зря вставила в свою программу вот эту строку
Код:
Edit5->Text = FloatToStr(f(x));
Это сделано специально для проверки правильности решения.
Корень равен 1,41921801120043 с точностью 1E-8, значение функции в этой точке равно 1,38429245810992E-7.
Цитата: kosfiz
и еще мне вот интересно, а почему ищем только один корень? ну допустим действительный только один(остальные комплексные вроде - не проверял), но мы же можем получить приближенный действительный корень(корни)(естественно корень будет на малом отрезке, на котором функция меняет знак), при котором функция будет приблизительно равна 0(т.е. будет приблизительно выполнять равенство F(x)=0), что учитывая, что метод половинного деления относится к приближенным вполне нас устраивает.
Насколько мне известно, метод половинного деления позволяет найти только действительные корни. Если вы придумаете какую-либо модификацию этого метода для комплексных чисел, буду очень признательна.
2Sara
1.[quote=Sara]Прежде чем такое писать, хоть бы на калькуляторе проверили, что ли
Я же не зря вставила в свою программу вот эту строку
Это сделано специально для проверки правильности решения.
Корень равен 1,41921801120043 с точностью 1E-8, значение функции в этой точке равно 1,38429245810992E-7[/quote]
вообщем пишу еще раз получилось у меня 1.41, если посчитаем с помощью калькулятора, т.е. 1.41^3+2*1.41^2-6*1.41-3=-4.6 приблизительно. но смотри свой код, а точнее строку:
я за тобой код проверять не стал(а зря) и скопировал к себе. вот здесь и получилось неразбериха, если я уберу последний *, то получится ответ x=1.9296, что дает приблизительно равенство 0 значения функции при данном х.
2. [quote=Sara]Насколько мне известно, метод половинного деления позволяет найти только действительные корни. Если вы придумаете какую-либо модификацию этого метода для комплексных чисел, буду очень признательна.[/quote]
да действительно находит только действительные корни. я говорю о том, что можно найти действительный корень, который бы был близок к тому, чтобы быть корнем, т.е. F(x)=0. в данном случае почему бы не взять -3.4775 и -0.4475 значение функции близко 0 в них + на малых отрезках 0.000001, в которые они входят функция меняет знак. так что на мой взгляд они могут быть признаны корнями пусть и приближенно.
P.S. неужели ты думаешь я хотел тебя обидеть или покритиковать? но если обидел или задел - прости, честное слово не хотел.
1.[quote=Sara]Прежде чем такое писать, хоть бы на калькуляторе проверили, что ли
Я же не зря вставила в свою программу вот эту строку
Код:
Edit5->Text = FloatToStr(f(x));
Это сделано специально для проверки правильности решения.
Корень равен 1,41921801120043 с точностью 1E-8, значение функции в этой точке равно 1,38429245810992E-7[/quote]
вообщем пишу еще раз получилось у меня 1.41, если посчитаем с помощью калькулятора, т.е. 1.41^3+2*1.41^2-6*1.41-3=-4.6 приблизительно. но смотри свой код, а точнее строку:
Код:
double f( double x )
{
return x*x*x* + x*x*2 - x*6 - 3;
}
{
return x*x*x* + x*x*2 - x*6 - 3;
}
я за тобой код проверять не стал(а зря) и скопировал к себе. вот здесь и получилось неразбериха, если я уберу последний *, то получится ответ x=1.9296, что дает приблизительно равенство 0 значения функции при данном х.
2. [quote=Sara]Насколько мне известно, метод половинного деления позволяет найти только действительные корни. Если вы придумаете какую-либо модификацию этого метода для комплексных чисел, буду очень признательна.[/quote]
да действительно находит только действительные корни. я говорю о том, что можно найти действительный корень, который бы был близок к тому, чтобы быть корнем, т.е. F(x)=0. в данном случае почему бы не взять -3.4775 и -0.4475 значение функции близко 0 в них + на малых отрезках 0.000001, в которые они входят функция меняет знак. так что на мой взгляд они могут быть признаны корнями пусть и приближенно.
P.S. неужели ты думаешь я хотел тебя обидеть или покритиковать? но если обидел или задел - прости, честное слово не хотел.
Цитата: kosfiz
да действительно находит только действительные корни. я говорю о том, что можно найти действительный корень, который бы был близок к тому, чтобы быть корнем, т.е. F(x)=0. в данном случае почему бы не взять -3.4775 и -0.4475 значение функции близко 0 в них + на малых отрезках 0.000001, в которые они входят функция меняет знак. так что на мой взгляд они могут быть признаны корнями пусть и приближенно.
погрешность можно легко оценить
(b-a)/2^n n - n'ый шаг
легко видеть что в пределе у нас получиться точное значение
ну а при реализации у нас неминуемо получится приближенно
хотя бы если взять представление вещ чисел
Цитата: kosfiz
2Sara
1.
вообщем пишу еще раз получилось у меня 1.41, если посчитаем с помощью калькулятора, т.е. 1.41^3+2*1.41^2-6*1.41-3=4.6 приблизительно. но смотри свой код, а точнее строку:
я за тобой код проверять не стал(а зря) и скопировал к себе. вот здесь и получилось неразбериха, если я уберу последний *, то получится ответ x=1.9296, что дает приблизительно равенство 0 значения функции при данном х.
1.
вообщем пишу еще раз получилось у меня 1.41, если посчитаем с помощью калькулятора, т.е. 1.41^3+2*1.41^2-6*1.41-3=4.6 приблизительно. но смотри свой код, а точнее строку:
Код:
double f( double x )
{
return x*x*x* + x*x*2 - x*6 - 3;
}
{
return x*x*x* + x*x*2 - x*6 - 3;
}
я за тобой код проверять не стал(а зря) и скопировал к себе. вот здесь и получилось неразбериха, если я уберу последний *, то получится ответ x=1.9296, что дает приблизительно равенство 0 значения функции при данном х.
Да, действительно, опечатка вышла :)
Теперь исправила. Получился корень 1,9254229.
Кстати, корни -3,47735 и -0,44807 моя программа тоже находит, если задать отрезки [-4,-3] и [-1,0]. Почему сначала я подумала, что только один действительный корень? Возможно, вы будете смеяться, но я... неправильно посчитала дискриминант :)
вот, собственно, переделал свой код для проивольных значений a, b, c, d:
код можно сократить на пару строк, но я этого намеренно делать не стал.
7:35 по Москве. можно впринципе все это сделать и для полинома степени n, т.е. x^n+x^(n-1)+...+x^1+x^0 и с произвольными коэффициентами при x.
Код:
#include <iostream.h>
#include <stdlib.h>
#pragma hdrstop
#pragma argsused
double func(double x, double* coeff)
{
return coeff[0]*x*x*x+coeff[1]*x*x+coeff[2]*x+coeff[3];
}
double poldel(double x1, double x2, double eps, double* coeff) //ищем корень методом половинного деления на указанном с помощью x1 и x2 отрезке локализации
{
double a,b,c,f1,f2;
a=x1;
b=x2;
do{
c=(a+b)/2;
f1=func(a, coeff);
f2=func(b, coeff);
if (f1*f2<=0){
b=c;
}else{
a=c;
}
}while((b-a)>=2*eps);
return (a+b)/2;
}
int main(int argc, char* argv[])
{
double coeff[4];
double y2,y1,x1,x2;
int i;
double a, b, h, eps;
cin>>a; //левая граница отрезка на котором надо искать корни
cin>>b; //правая граница отрезка
cin>>h; //шаг необходим для определения отрезков локализации
cin>>eps; //точность
for (i=0;i<4;i++)cin>>coeff; //последовательно вводим a, b, c, d
x1=a; //дальнейший код - поиск отрезков локализации
x2=a+h;
while(x2<b){
y1=func(x1, coeff);
y2=func(x2, coeff);
if (y1*y2<=0){
//если отрезок локализации найден, то ищем на данном отрезке корень методом половинного деления
cout<<"x= "<<poldel(x1, x2, eps, coeff)<<endl; //выводим корень
out<<"F(x)="<<func(poldel(x1,x2,eps,coeff),coeff)<<endl; //выводим значение функции в корне
};
x1=x2;
x2+=h;
}
system("pause");
return 0;
}
#include <stdlib.h>
#pragma hdrstop
#pragma argsused
double func(double x, double* coeff)
{
return coeff[0]*x*x*x+coeff[1]*x*x+coeff[2]*x+coeff[3];
}
double poldel(double x1, double x2, double eps, double* coeff) //ищем корень методом половинного деления на указанном с помощью x1 и x2 отрезке локализации
{
double a,b,c,f1,f2;
a=x1;
b=x2;
do{
c=(a+b)/2;
f1=func(a, coeff);
f2=func(b, coeff);
if (f1*f2<=0){
b=c;
}else{
a=c;
}
}while((b-a)>=2*eps);
return (a+b)/2;
}
int main(int argc, char* argv[])
{
double coeff[4];
double y2,y1,x1,x2;
int i;
double a, b, h, eps;
cin>>a; //левая граница отрезка на котором надо искать корни
cin>>b; //правая граница отрезка
cin>>h; //шаг необходим для определения отрезков локализации
cin>>eps; //точность
for (i=0;i<4;i++)cin>>coeff; //последовательно вводим a, b, c, d
x1=a; //дальнейший код - поиск отрезков локализации
x2=a+h;
while(x2<b){
y1=func(x1, coeff);
y2=func(x2, coeff);
if (y1*y2<=0){
//если отрезок локализации найден, то ищем на данном отрезке корень методом половинного деления
cout<<"x= "<<poldel(x1, x2, eps, coeff)<<endl; //выводим корень
out<<"F(x)="<<func(poldel(x1,x2,eps,coeff),coeff)<<endl; //выводим значение функции в корне
};
x1=x2;
x2+=h;
}
system("pause");
return 0;
}
код можно сократить на пару строк, но я этого намеренно делать не стал.
7:35 по Москве. можно впринципе все это сделать и для полинома степени n, т.е. x^n+x^(n-1)+...+x^1+x^0 и с произвольными коэффициентами при x.
kosfiz ужасно непродуктивный способ шажками искать отрезки
да и не красивый
если уж хотите для произвольных коэфицентов то будьте добры исследуйте производную в общем виде, определите число корней и тд и тп
благо произв всего 2 степени а такие ур-я решать мы можем "точно" ;)
да и не красивый
если уж хотите для произвольных коэфицентов то будьте добры исследуйте производную в общем виде, определите число корней и тд и тп
благо произв всего 2 степени а такие ур-я решать мы можем "точно" ;)
2 kosfiz:
1. Я уже говорила о случае кратных корней. Напоминаю: если корень имеет кратность 2 (или вообще любое четное число), то функция в этой точке не пересекает ось, а лишь касается ее, т.е. смены знака не происходит. Этот корень тоже можно найти методом половинного деления, но применять его надо не к самой функции, а к ее производной.
2. Если значения функции на концах отрезка имеют разные знаки, то из этого следует, что на данном отрезке имеется нечетное число корней (с учетом кратности), но вовсе не обязательно один.
В общем, как ни крути, а без дифференцирования тут не обойтись :)
P.S.
Кстати, я у многих видела вот такой способ проверки:
Как я понимаю, это пишется вместо условия
Конечно, первая запись выглядит короче, но для программиста это довольно странный способ "оптимизации" кода. Во-первых, операция умножения (особенно для чисел с плавающей запятой) выполняется дольше, чем операции сравнения. Во-вторых, когда f1 и f2 достаточно малые числа (но не нули), их произведение может оказаться почти нулевым, и программа примет его за 0. Так что второй способ ИМХО все же более оптимален.
Впрочем, это уже мелочи :)
1. Я уже говорила о случае кратных корней. Напоминаю: если корень имеет кратность 2 (или вообще любое четное число), то функция в этой точке не пересекает ось, а лишь касается ее, т.е. смены знака не происходит. Этот корень тоже можно найти методом половинного деления, но применять его надо не к самой функции, а к ее производной.
2. Если значения функции на концах отрезка имеют разные знаки, то из этого следует, что на данном отрезке имеется нечетное число корней (с учетом кратности), но вовсе не обязательно один.
В общем, как ни крути, а без дифференцирования тут не обойтись :)
P.S.
Кстати, я у многих видела вот такой способ проверки:
Код:
if( f1*f2 <= 0 )
Как я понимаю, это пишется вместо условия
Код:
if( (f1 <= 0 && f2 >= 0) || (f1 >= 0 && f2 <= 0) )
Конечно, первая запись выглядит короче, но для программиста это довольно странный способ "оптимизации" кода. Во-первых, операция умножения (особенно для чисел с плавающей запятой) выполняется дольше, чем операции сравнения. Во-вторых, когда f1 и f2 достаточно малые числа (но не нули), их произведение может оказаться почти нулевым, и программа примет его за 0. Так что второй способ ИМХО все же более оптимален.
Впрочем, это уже мелочи :)
[quote=nilbog]kosfiz ужасно непродуктивный способ шажками искать отрезки
да и не красивый
если уж хотите для произвольных коэфицентов то будьте добры исследуйте производную в общем виде, определите число корней и тд и тп
благо произв всего 2 степени а такие ур-я решать мы можем "точно"[/quote]
некрасивый и непродуктивный так пусть: я и не претендую на красоту и продуктивность. код работает, а пользоваться им или нет это уже дело каждого.
[quote=Sara]1. Я уже говорила о случае кратных корней. Напоминаю: если корень имеет кратность 2 (или вообще любое четное число), то функция в этой точке не пересекает ось, а лишь касается ее, т.е. смены знака не происходит. Этот корень тоже можно найти методом половинного деления, но применять его надо не к самой функции, а к ее производной.[/quote]
знаю. просто хочу отметить, что данный метод, т.е. метод половинного деления(дихотомия), неприменим к корням четной кратности, т.е. само то, что в задании присутствует фраза:"метод половинного деления", говорит о том, что дается поблажка на нахождение корней четной кратности. кстати у этого метода есть проблемы и с нечетными корнями высокой кратности.
[quote=Sara]2. Если значения функции на концах отрезка имеют разные знаки, то из этого следует, что на данном отрезке имеется нечетное число корней (с учетом кратности), но вовсе не обязательно один.[/quote]
и с этим я не спорю(это все знают - прописные истины, можно сказать), но если взять малый отрезок(шаг), то большая вероятность того, что корень на нем будет один(хотя, конечно, и работать все будет гораздо дольше).
в заключении: может метод предложенный мной и кривоват и некрасив, но по-крайней мере единственное, что требуется - это ввести все параметры(без каких-либо аналитических манипуляций). если вы хотите получать все точно и все учитывать, тогда зачем вообще численные методы? приближенность корней и т.д., какие-то еще потери - все это учитывается при выборе метода, так что пункты 1 и 2 лично я считаю несущественными. и еще раз повторюсь пользоваться кодом или нет дело каждого. хотите напишите свой код, но мой тоже имеет право на существование.
P.S. кстати помоему все здесь сравнивали длину отрезка с eps, т.е.
или
.
разве деление не должно продолжаться пока отрезок не будет меньше 2*eps? т.е. и там и там должно быть 2*eps.
да и не красивый
если уж хотите для произвольных коэфицентов то будьте добры исследуйте производную в общем виде, определите число корней и тд и тп
благо произв всего 2 степени а такие ур-я решать мы можем "точно"[/quote]
некрасивый и непродуктивный так пусть: я и не претендую на красоту и продуктивность. код работает, а пользоваться им или нет это уже дело каждого.
[quote=Sara]1. Я уже говорила о случае кратных корней. Напоминаю: если корень имеет кратность 2 (или вообще любое четное число), то функция в этой точке не пересекает ось, а лишь касается ее, т.е. смены знака не происходит. Этот корень тоже можно найти методом половинного деления, но применять его надо не к самой функции, а к ее производной.[/quote]
знаю. просто хочу отметить, что данный метод, т.е. метод половинного деления(дихотомия), неприменим к корням четной кратности, т.е. само то, что в задании присутствует фраза:"метод половинного деления", говорит о том, что дается поблажка на нахождение корней четной кратности. кстати у этого метода есть проблемы и с нечетными корнями высокой кратности.
[quote=Sara]2. Если значения функции на концах отрезка имеют разные знаки, то из этого следует, что на данном отрезке имеется нечетное число корней (с учетом кратности), но вовсе не обязательно один.[/quote]
и с этим я не спорю(это все знают - прописные истины, можно сказать), но если взять малый отрезок(шаг), то большая вероятность того, что корень на нем будет один(хотя, конечно, и работать все будет гораздо дольше).
в заключении: может метод предложенный мной и кривоват и некрасив, но по-крайней мере единственное, что требуется - это ввести все параметры(без каких-либо аналитических манипуляций). если вы хотите получать все точно и все учитывать, тогда зачем вообще численные методы? приближенность корней и т.д., какие-то еще потери - все это учитывается при выборе метода, так что пункты 1 и 2 лично я считаю несущественными. и еще раз повторюсь пользоваться кодом или нет дело каждого. хотите напишите свой код, но мой тоже имеет право на существование.
P.S. кстати помоему все здесь сравнивали длину отрезка с eps, т.е.
Код:
while( fabs(x1-x2) > eps )
или
Код:
until (b-a)<eps;
разве деление не должно продолжаться пока отрезок не будет меньше 2*eps? т.е. и там и там должно быть 2*eps.
Цитата: kosfiz
разве деление не должно продолжаться пока отрезок не будет меньше 2*eps? т.е. и там и там должно быть 2*eps.
Хм... Сейчас разберемся :)
Когда говорят "найти решение с точностью eps", обычно подразумевают вот такое неравенство (я уверена, что почти всем это известно, но на всякий случай напишу)
Код:
|x-x*| <= eps
где x - точное решение, x* - приближенное (или наоборот).
Теперь давайте посмотрим, что будет, если в моей функции заменить eps на 2*eps.
Выход из цикла произойдет, когда fabs(x1-x2) <= 2*eps. После этого произойдет присваивание *x = x12. Чему будет равен x12 к этому моменту? Очевидно, он будет совпадать с одим из значений x1 или x2. Т.е. в качестве решения берется один из концов отрезка, а длина отрезка <=2*eps. Рассмотрим худший случай, когда длина отрезка составляет 2*eps, точное решение находится вблизи точки x2, а в качестве приближенного мы взяли x1. В этом случае модуль разности |x-x*| будет равен 2*eps, т.е. нужная точность не будет обеспечена.
Вот если, кроме этого, еще заменить строку
Код:
*x = x12;
на строку
Код:
*x = (x1+x2)/2;
тогда все будет OK. Но мой первоначальный вариант тоже позволяет найти решение с точность eps. Правда, в новом варианте итераций будет на 1 меньше... Но это, на мой взгляд, как раз несущественно.
А вот насчет кратных корней - извините, но ни о каких "поблажках" речь не шла. Если бы Вы сказали это одному из наших преподов, зачет бы Вам не поставили :)
Чем кратные корни хуже других? Тем более, найти их методом половинного деления можно, только для этого надо вычислить производную. Кстати, а в чем проблема с нахождением нечетных корней высокой кратности?
Цитата: kosfiz
если взять малый отрезок(шаг), то большая вероятность того, что корень на нем будет один(хотя, конечно, и работать все будет гораздо дольше).
Что значит "большая вероятность"? Может быть, Вы знаете, как посчитать эту вероятность? Или хотя бы приближенно оценить ее? ;) Если уж заговорили о вероятности, извольте обосновать свои суждения.
Цитата: kosfiz
если вы хотите получать все точно и все учитывать, тогда зачем вообще
численные методы?
Да, численные методы не могут дать нам точное решение. У каждого метода есть определенная погрешность. Но эту погрешность можно оценить! Т.е. если я задаю погрешность eps, то я могу утверждать, что найденное решение будет отличаться от точного не более чем на eps. Вот для этого и нужны численные методы.
А если погрешность метода нельзя оценить, то этот метод действительно бесполезен.
если есть кратный корень кратности 2, то есть ещё один действительный корень... корень кратности два будет равен или локальному минимуму, или локальному максимуму и без половинного деления... оставшийся корень успешно находится методом половинного деления, где функция меняет знак...
з.ы. да и вообще для кубического уравнения можно прекрасно найти все корни без всех методов половинного деления... вот для высоких степений кратности уже проблема...
з.ы. да и вообще для кубического уравнения можно прекрасно найти все корни без всех методов половинного деления... вот для высоких степений кратности уже проблема...
Здравствуйте можете внести поправочку в тексте программы Найти корни уравнения: a * x^3+ b*x^2+ c*x + d = 0 с точностью до 0.01
Вместо компонентов a, b, c и d записать заданные значения полинома, где а=1, b=2, с= -6, d= -3, Корни найти методом половинного деления.
сама формула в первый раз была не точной
Вместо компонентов a, b, c и d записать заданные значения полинома, где а=1, b=2, с= -6, d= -3, Корни найти методом половинного деления.
сама формула в первый раз была не точной
Цитата: Mr.Hacker
если есть кратный корень кратности 2, то есть ещё один действительный корень... корень кратности два будет равен или локальному минимуму, или локальному максимуму и без половинного деления... оставшийся корень успешно находится методом половинного деления, где функция меняет знак...
з.ы. да и вообще для кубического уравнения можно прекрасно найти все корни без всех методов половинного деления... вот для высоких степений кратности уже проблема...
з.ы. да и вообще для кубического уравнения можно прекрасно найти все корни без всех методов половинного деления... вот для высоких степений кратности уже проблема...
Согласна. Но в общем случае (для больших степеней) корни производной тоже придется искать численными методами :)
Цитата: kosfiz
вот, собственно, переделал свой код для проивольных значений a, b, c, d:
код можно сократить на пару строк, но я этого намеренно делать не стал.
7:35 по Москве. можно впринципе все это сделать и для полинома степени n, т.е. x^n+x^(n-1)+...+x^1+x^0 и с произвольными коэффициентами при x.
Код:
#include <iostream.h>
#include <stdlib.h>
#pragma hdrstop
#pragma argsused
double func(double x, double* coeff)
{
return coeff[0]*x*x*x+coeff[1]*x*x+coeff[2]*x+coeff[3];
}
double poldel(double x1, double x2, double eps, double* coeff) //ищем корень методом половинного деления на указанном с помощью x1 и x2 отрезке локализации
{
double a,b,c,f1,f2;
a=x1;
b=x2;
do{
c=(a+b)/2;
f1=func(a, coeff);
f2=func(b, coeff);
if (f1*f2<=0){
b=c;
}else{
a=c;
}
}while((b-a)>=2*eps);
return (a+b)/2;
}
int main(int argc, char* argv[])
{
double coeff[4];
double y2,y1,x1,x2;
int i;
double a, b, h, eps;
cin>>a; //левая граница отрезка на котором надо искать корни
cin>>b; //правая граница отрезка
cin>>h; //шаг необходим для определения отрезков локализации
cin>>eps; //точность
for (i=0;i<4;i++)cin>>coeff; //последовательно вводим a, b, c, d
x1=a; //дальнейший код - поиск отрезков локализации
x2=a+h;
while(x2<b){
y1=func(x1, coeff);
y2=func(x2, coeff);
if (y1*y2<=0){
//если отрезок локализации найден, то ищем на данном отрезке корень методом половинного деления
cout<<"x= "<<poldel(x1, x2, eps, coeff)<<endl; //выводим корень
out<<"F(x)="<<func(poldel(x1,x2,eps,coeff),coeff)<<endl; //выводим значение функции в корне
};
x1=x2;
x2+=h;
}
system("pause");
return 0;
}
#include <stdlib.h>
#pragma hdrstop
#pragma argsused
double func(double x, double* coeff)
{
return coeff[0]*x*x*x+coeff[1]*x*x+coeff[2]*x+coeff[3];
}
double poldel(double x1, double x2, double eps, double* coeff) //ищем корень методом половинного деления на указанном с помощью x1 и x2 отрезке локализации
{
double a,b,c,f1,f2;
a=x1;
b=x2;
do{
c=(a+b)/2;
f1=func(a, coeff);
f2=func(b, coeff);
if (f1*f2<=0){
b=c;
}else{
a=c;
}
}while((b-a)>=2*eps);
return (a+b)/2;
}
int main(int argc, char* argv[])
{
double coeff[4];
double y2,y1,x1,x2;
int i;
double a, b, h, eps;
cin>>a; //левая граница отрезка на котором надо искать корни
cin>>b; //правая граница отрезка
cin>>h; //шаг необходим для определения отрезков локализации
cin>>eps; //точность
for (i=0;i<4;i++)cin>>coeff; //последовательно вводим a, b, c, d
x1=a; //дальнейший код - поиск отрезков локализации
x2=a+h;
while(x2<b){
y1=func(x1, coeff);
y2=func(x2, coeff);
if (y1*y2<=0){
//если отрезок локализации найден, то ищем на данном отрезке корень методом половинного деления
cout<<"x= "<<poldel(x1, x2, eps, coeff)<<endl; //выводим корень
out<<"F(x)="<<func(poldel(x1,x2,eps,coeff),coeff)<<endl; //выводим значение функции в корне
};
x1=x2;
x2+=h;
}
system("pause");
return 0;
}
код можно сократить на пару строк, но я этого намеренно делать не стал.
7:35 по Москве. можно впринципе все это сделать и для полинома степени n, т.е. x^n+x^(n-1)+...+x^1+x^0 и с произвольными коэффициентами при x.
Здравствуйте именно такая формула используется в первом случае? Найти корни уравнения: a * x^3+ b*x^2+ c*x + d = 0 с точностью до 0.01 :confused:
Цитата: kosfiz
некрасивый и непродуктивный так пусть: я и не претендую на красоту и продуктивность. код работает, а пользоваться им или нет это уже дело каждого.
я имел ввиду под словом некрасивый немножко другое
для метода половинного деления вы должны предъявить функцию и отрезок на котором функция удовлетворяет требованию: существование уединенного корня причем одного и непрерывность
вы решили автоматизировать процесс выбора отрезков для пользователя
но если уж решили то уж до конца бы сделали :)
а шажками вы никогда не убедитесь что у вас функция не скачет
не сможете просмотреть всю ось
потратите много лишнего времени
кстати тогда уж почему бы нам корень не искать шажками :D
Цитата: Nik.rus
Здравствуйте можете внести поправочку в тексте программы Найти корни уравнения: a * x^3+ b*x^2+ c*x + d = 0 с точностью до 0.01
Вместо компонентов a, b, c и d записать заданные значения полинома, где а=1, b=2, с= -6, d= -3, Корни найти методом половинного деления.
сама формула в первый раз была не точной
Вместо компонентов a, b, c и d записать заданные значения полинома, где а=1, b=2, с= -6, d= -3, Корни найти методом половинного деления.
сама формула в первый раз была не точной
Все, я уже не выдерживаю, начинаю ругаться :mad:
Nik.rus, какой же ты программист, если ты даже задачу правильно сформулировать не можешь?
Цитата: Nik.rus
Вместо компонентов a, b, c и d...
Ты хоть понимаешь, что компоненты и коэффициенты - это, вообще говоря, разные вещи? :D
Ну, ладно бы один раз - можно было бы подумать, что опечатка, но когда человек второй раз такой "перл" выдает...
Цитата: Nik.rus
записать заданные значения полинома...
Так что же все-таки задано? Значения полинома или его коэффициенты?
Цитата: Nik.rus
сама формула в первый раз была не точной
Какая формула? О чем вообще речь?
[quote=nilbog]я имел ввиду под словом некрасивый немножко другое[/quote]
да я понял что ты имел ввиду просто выразился неправильно. о всех ограничениях и недостатках предложенного мной способа знаю.
1.[quote=Sara]Хм... Сейчас разберемся
Когда говорят "найти решение с точностью eps", обычно подразумевают вот такое неравенство (я уверена, что почти всем это известно, но на всякий случай напишу)
где x - точное решение, x* - приближенное (или наоборот).[/quote]
я процитирую
[quote=]Если требуется найти корень с точностью eps, то продолжаем деление пополам до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2*eps. Тогда середина отрезка даст значение корня с требуемой точностью.[/quote]
2.[quote=Sara]Чем кратные корни хуже других? Тем более, найти их методом половинного деления можно, только для этого надо вычислить производную.[/quote]
опять цитирую
[quote=]Метод неприменим к корням четной кратности.[/quote]
3.[quote=Sara]Кстати, а в чем проблема с нахождением нечетных корней высокой кратности?[/quote]
а я разве писал про проблему нахождения? смотрим
[quote=kosfiz]кстати у этого метода есть проблемы и с нечетными корнями высокой кратности.[/quote]
я не конкретизировал. просто метод половинного деления для таких корней менее точен и хуже устойчив к ошибкам.
4.[quote=Sara]Что значит "большая вероятность"? Может быть, Вы знаете, как посчитать эту вероятность? Или хотя бы приближенно оценить ее? Если уж заговорили о вероятности, извольте обосновать свои суждения.[/quote]
отвечу вопросом. представим, что у нас есть отрезок длиной 10(-6). много ли будет функций, имеющих корни(минимум три) на этом отрезке?(прямую, совпадающую с осью X, брать во внимание не будем)
5.[quote=Sara]Да, численные методы не могут дать нам точное решение. <skip>. Вот для этого и нужны численные методы.[/quote]
я знаю для чего они нужны).
Цитировал я этого человека.
вообщем повторюсь: я все недостатки своего метода прекрасно знаю.
2Sara
предлагаю закончить данный спор все равно каждый останется при своем, а спорить можно бесконечно. впринципе, если есть желание диалог можно продолжить в личке.
2 All
вам не кажется, что автор темы сам не знает чего хочет? мы тут пытаемся ему помочь, друг с другом спорим, стараемся, а он.... вообщем слов нету.
да я понял что ты имел ввиду просто выразился неправильно. о всех ограничениях и недостатках предложенного мной способа знаю.
1.[quote=Sara]Хм... Сейчас разберемся
Когда говорят "найти решение с точностью eps", обычно подразумевают вот такое неравенство (я уверена, что почти всем это известно, но на всякий случай напишу)
Код:
|x-x*| <= eps
где x - точное решение, x* - приближенное (или наоборот).[/quote]
я процитирую
[quote=]Если требуется найти корень с точностью eps, то продолжаем деление пополам до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2*eps. Тогда середина отрезка даст значение корня с требуемой точностью.[/quote]
2.[quote=Sara]Чем кратные корни хуже других? Тем более, найти их методом половинного деления можно, только для этого надо вычислить производную.[/quote]
опять цитирую
[quote=]Метод неприменим к корням четной кратности.[/quote]
3.[quote=Sara]Кстати, а в чем проблема с нахождением нечетных корней высокой кратности?[/quote]
а я разве писал про проблему нахождения? смотрим
[quote=kosfiz]кстати у этого метода есть проблемы и с нечетными корнями высокой кратности.[/quote]
я не конкретизировал. просто метод половинного деления для таких корней менее точен и хуже устойчив к ошибкам.
4.[quote=Sara]Что значит "большая вероятность"? Может быть, Вы знаете, как посчитать эту вероятность? Или хотя бы приближенно оценить ее? Если уж заговорили о вероятности, извольте обосновать свои суждения.[/quote]
отвечу вопросом. представим, что у нас есть отрезок длиной 10(-6). много ли будет функций, имеющих корни(минимум три) на этом отрезке?(прямую, совпадающую с осью X, брать во внимание не будем)
5.[quote=Sara]Да, численные методы не могут дать нам точное решение. <skip>. Вот для этого и нужны численные методы.[/quote]
я знаю для чего они нужны).
Цитировал я этого человека.
вообщем повторюсь: я все недостатки своего метода прекрасно знаю.
2Sara
предлагаю закончить данный спор все равно каждый останется при своем, а спорить можно бесконечно. впринципе, если есть желание диалог можно продолжить в личке.
2 All
вам не кажется, что автор темы сам не знает чего хочет? мы тут пытаемся ему помочь, друг с другом спорим, стараемся, а он.... вообщем слов нету.
автор лол) по-моему он гулял весь семестр, а ща вспомнил, что сессию надо закрыть))
по теме:
для корней чётной кратности вообще не нужен никакой метод половинного деления... корни чётной кратности являются корнями производной, следовательно для любого полинома высокой степени конечным спуском мы всё равно прийдём к степени ниже... в конце к квадратному или к линейному уравнению с действительными коэф) ну а потом уже находим половинным делением все корни нечётной кратности) маткад по-моему так и делает, только он метод хорд использует...
точность уже другая беда... для любого eps можно подобрать функцию, которая на отрезке <eps будет иметь >1 корня... но 1e-4 для большинства инженерных задач хватает... студентам тем более) для самых точных расчётов всё равно хватает точности, которой обеспечивает нас тип double...
по теме:
для корней чётной кратности вообще не нужен никакой метод половинного деления... корни чётной кратности являются корнями производной, следовательно для любого полинома высокой степени конечным спуском мы всё равно прийдём к степени ниже... в конце к квадратному или к линейному уравнению с действительными коэф) ну а потом уже находим половинным делением все корни нечётной кратности) маткад по-моему так и делает, только он метод хорд использует...
точность уже другая беда... для любого eps можно подобрать функцию, которая на отрезке <eps будет иметь >1 корня... но 1e-4 для большинства инженерных задач хватает... студентам тем более) для самых точных расчётов всё равно хватает точности, которой обеспечивает нас тип double...
Спасибо большое всем кто мне помогал))) Ваша помощь мне пригодилась)) Эту тему можно закрыть ))) Спасибо ))